Lập kế hoạch giải
Đây là giai đoạn khó nhất và quan trọng nhất — nơi "ý tưởng then chốt" (good idea) lóe sáng. Không có công thức nào đảm bảo tìm ra kế hoạch, nhưng những câu hỏi gợi ý của Pólya giúp ta đi đúng hướng.
Tinh thần của giai đoạn
Bản chất của lập kế hoạch là tìm mối liên hệ giữa dữ kiện và ẩn số. Lý tưởng nhất là ta nhìn vào bài và ngay lập tức thấy ngay con đường. Thực tế thường khác: ta phải dò tìm, thử và thất bại, cho tới khi ý tưởng đến — đôi khi đột ngột sau một thời gian ủ lâu.
Pólya nhấn mạnh: ý tưởng hay không đến hoàn toàn ngẫu nhiên. Nó đến sau khi ta đã tích lũy kinh nghiệm, đã xem xét bài toán từ nhiều góc độ, và đặt ra những câu hỏi đúng.
"Ý tưởng hay thường đến đột ngột, sau một thời gian dường như không đạt được tiến bộ gì. Nhưng nó không xuất hiện từ hư không — nó là kết quả của sự chuẩn bị từ trước và những câu hỏi được đặt ra đúng lúc đúng chỗ."
Câu hỏi chính — "Nhìn vào ẩn số!"
Đây là câu hỏi Pólya gọi là "câu hỏi vàng" của giai đoạn này:
"Bạn có biết một bài toán liên quan không?
Bạn có biết một định lý có thể có ích không?
Hãy nhìn vào ẩn số! Hãy nghĩ tới một bài toán quen thuộc có cùng ẩn số hoặc ẩn số tương tự."
Logic của câu hỏi này: nếu ta đã từng giải một bài toán có cùng loại kết quả cần tìm, thì phương pháp đó có thể dùng lại. Ví dụ:
- Ẩn số là một đoạn thẳng → nhớ tới định lý Pythagoras, hệ thức lượng trong tam giác.
- Ẩn số là một góc → nhớ tới các hệ thức lượng giác.
- Ẩn số là một diện tích → nhớ tới các công thức tính diện tích đã biết.
- Ẩn số là một số nguyên thỏa tính chất nào đó → nhớ tới quy nạp, chia hết, số nguyên tố.
Toàn bộ câu hỏi gợi ý (đầy đủ)
Nhóm A — Khai thác kinh nghiệm cũ
- Bạn đã gặp bài toán này trước đây chưa? Hay đã gặp một bài tương tự dưới dạng hơi khác?
- Bạn có biết một bài toán liên quan không? Bạn có biết một định lý có thể có ích không?
- Nhìn vào ẩn số! Và cố gắng nghĩ tới một bài toán quen thuộc có cùng ẩn số hoặc ẩn số tương tự.
- Đây là một bài toán liên quan — bạn đã biết lời giải nó. Bạn có thể dùng nó không? Bạn có thể dùng kết quả của nó không? Dùng phương pháp của nó không? Bạn có thể đưa vào một yếu tố phụ trợ để dùng được không?
Nhóm B — Biến đổi bài toán
- Bạn có thể phát biểu lại bài toán không? Theo cách khác không? Hãy quay về các định nghĩa.
- Nếu bạn không thể giải bài toán đã cho, hãy thử một bài toán liên quan. Bạn có thể hình dung một bài dễ tiếp cận hơn? Tổng quát hơn? Đặc biệt hơn? Tương tự?
- Bạn có thể giải một phần của bài toán không? Hãy giữ chỉ một phần điều kiện, bỏ phần còn lại: khi đó ẩn số được xác định đến mức nào, và nó có thể biến thiên thế nào?
- Bạn có thể thay đổi ẩn số hoặc dữ kiện sao cho ẩn số mới và dữ kiện mới gần nhau hơn không? Bạn có thể thay đổi cả hai để làm cho chúng tương xứng hơn không?
Nhóm C — Tổng kiểm tra
- Bạn có thể rút ra điều gì hữu ích từ tất cả dữ kiện không? Bạn có thể nghĩ tới dữ kiện khác thích hợp để xác định ẩn số không?
- Bạn đã dùng hết mọi dữ kiện chưa? Bạn đã dùng hết toàn bộ điều kiện chưa? Bạn đã xét đến mọi khái niệm cốt yếu liên quan đến bài toán chưa?
Chín chiến lược heuristic then chốt
Từ các câu hỏi trên, Pólya cụ thể hóa thành các chiến lược hành động. Dưới đây là chín chiến lược quan trọng nhất:
1. Loại suy (Analogy)
Tìm bài toán có cấu trúc tương tự nhưng đơn giản hơn hoặc ở chiều thấp hơn. Bài mặt phẳng là bản tương tự của bài không gian; bài $n=2$ là bản tương tự của bài $n$ biến.
2. Tổng quát hóa
Chuyển bài toán sang dạng tổng quát hơn. Nghịch lý: bài tổng quát đôi khi dễ hơn vì ít "nhiễu" đặc biệt. Pólya gọi đây là "nghịch lý của nhà phát minh".
3. Đặc biệt hóa
Thử các trường hợp đơn giản hoặc cực biên trước để nắm cơ chế, rồi tổng quát dần. Xét $n=1, 2, 3$ trước khi giải bài toán tổng quát.
4. Làm việc ngược
Bắt đầu từ cái cần đạt được, hỏi "điều này suy ra từ đâu?", cứ thế lùi dần về dữ kiện đã biết (phương pháp Pappus).
5. Bài toán phụ trợ
Đặt ra một bài toán trung gian mà lời giải của nó sẽ là "bậc thang" dẫn tới lời giải bài gốc.
6. Thêm yếu tố phụ
Kẻ thêm đường phụ, thêm điểm, thêm biến phụ — để làm lộ ra mối liên hệ ẩn giữa dữ kiện và ẩn số.
7. Phát biểu lại
Diễn đạt bài toán theo cách khác — bằng ngôn ngữ đại số, hình học, hoặc dùng các định nghĩa gốc — để thấy góc nhìn mới.
8. Phân tích & tổng hợp
Phân tích: tháo rời bài thành các phần nhỏ hơn. Tổng hợp: ghép lại theo trình tự logic xuôi chiều để tạo lời giải hoàn chỉnh.
9. Quy về bài quen
Biến đổi bài toán lạ thành dạng của một bài toán đã từng giải: đổi biến, xoay hệ tọa độ, đổi đơn vị, đặt ẩn phụ.
Khi bị bế tắc — Sơ đồ thoát bế tắc
Pólya dành nhiều trang để nói về khoảnh khắc bế tắc — khi không có ý tưởng nào đến. Đây là sơ đồ hành động gợi ý:
- Đọc lại đề bài từ đầu. Hỏi lại: ẩn số là gì? dữ kiện là gì? Thường ta đã quên mất một chi tiết.
- Nhìn vào ẩn số. Ẩn số là gì? Ta đã từng tìm loại ẩn số này chưa?
- Hỏi: có bài toán liên quan không? Kể ra mọi bài toán có cùng ẩn số hoặc cùng dữ kiện mà ta biết.
- Nới lỏng điều kiện. Bỏ bớt một ràng buộc — khi đó ẩn số xác định được không? Rồi dần dần khôi phục điều kiện.
- Đặc biệt hóa. Thử $n=1$ hoặc trường hợp đối xứng đặc biệt để hiểu cơ chế.
- Tổng quát hóa. Đôi khi bài tổng quát hơn dễ hơn — thử xem.
- Làm việc ngược. Coi như đã có đáp số, dẫn ngược về dữ kiện.
- Đặt bài sang một bên. Nghỉ ngơi, để vô thức làm việc — rồi trở lại với góc nhìn tươi mới.
Không có chiến lược nào đảm bảo tìm ra lời giải. Heuristic là nghệ thuật, không phải thuật toán. Vai trò của các câu hỏi là hướng sự chú ý đúng chỗ — còn lời giải phải do chính người giải tìm ra.
Ví dụ áp dụng câu hỏi lập kế hoạch
Tìm đường chéo $d$ của hình vuông có cạnh $a$.
"Nhìn vào ẩn số — ẩn số là gì?"
Ẩn số là một độ dài $d$. Ta đã từng tìm độ dài chưa? Có — bằng định lý Pythagoras! (Câu hỏi kích hoạt ký ức).
"Bài toán liên quan có cùng ẩn số?"
Tìm cạnh huyền của tam giác vuông — đây chính là bài quen thuộc. Ta đặt câu hỏi: $d$ có phải là cạnh huyền của một tam giác vuông nào đó không?
"Bạn có thể đưa vào yếu tố phụ không?"
Kẻ đường chéo — nó chia hình vuông thành tam giác vuông cân với hai cạnh góc vuông bằng $a$. Ý tưởng then chốt đã có: $d^2 = a^2 + a^2$, suy ra $d = a\sqrt{2}$.