Bài toán: Dựng tiếp tuyến từ điểm ngoài đường tròn
Bài toán dựng hình kinh điển này minh họa ba kỹ thuật cốt lõi của Pólya: (1) Làm việc ngược (Analysis/Pappus) — giả sử đã có lời giải rồi suy luận ngược; (2) Yếu tố phụ trợ — thêm đoạn $OT$ để lộ ra tính chất vuông góc; (3) Tổng hợp (Synthesis) — đảo trình tự để dựng xuôi chiều.
Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $r$ và điểm $P$ nằm ngoài đường tròn. Dựng (bằng thước và compa) tất cả các tiếp tuyến từ $P$ đến đường tròn.
Ẩn số là gì? Dữ kiện là gì? Điều kiện là gì?
Dữ kiện: Đường tròn tâm $O$, bán kính $r$; điểm $P$ nằm ngoài (tức $OP > r$).
Điều kiện: Đường thẳng $PT$ phải chỉ tiếp xúc đường tròn tại một điểm $T$ — nghĩa là $PT \perp OT$.
Bạn có thể vẽ hình không? Hãy đặt ký hiệu.
Nhận xét tổng quát: Vì $P$ ở ngoài, có đúng hai tiếp tuyến từ $P$, đối xứng qua $OP$.
Pólya giới thiệu chiến lược kinh điển: "Giả sử bài toán đã giải. Bạn thấy gì?" Hãy giả sử đã dựng được tiếp tuyến $PT$, rồi nhìn vào hình để tìm ra tính chất ta có thể khai thác.
Giả sử $PT$ là tiếp tuyến tại $T$. Khi đó $OT \perp PT$, tức góc $OTP = 90°$.
Nhìn vào tam giác $OTP$: góc tại $T$ bằng $90°$. Vậy $T$ nằm trên đường tròn đường kính $OP$ (theo định lý Thales).
Như vậy: Tiếp điểm $T$ nằm trên giao của đường tròn $(O,r)$ và đường tròn đường kính $OP$.
Đường tròn đường kính $OP$ là yếu tố phụ trợ then chốt — ta không thấy nó trong đề bài, nhưng "làm việc ngược" đã dẫn ta đến nó.
Bạn đã dùng bài toán liên quan nào?
Bước phân tích đã chỉ ra: $T$ = giao của $(O,r)$ và đường tròn tâm $M$, bán kính $OM$. Bây giờ ta thực hiện dựng hình.
Kiểm tra: $OM = MP = OP/2$.
Đây là đường tròn nhận $OP$ làm đường kính.
Kiểm tra: $T_1, T_2$ nằm trên cả hai đường tròn.
Chứng minh: $T_1$ nằm trên đường tròn đường kính $OP$ nên $\angle OT_1P = 90°$, tức $OT_1 \perp PT_1$ — đúng định nghĩa tiếp tuyến. Tương tự cho $T_2$. ✓
Bạn có thể kiểm tra kết quả không?
$$PT_1 = \sqrt{OP^2 - OT_1^2} = \sqrt{d^2 - r^2}$$ Khi $d > r$ thì $PT_1 > 0$ ✓ — tồn tại tiếp tuyến.
Khi $d = r$ thì $PT_1 = 0$ — $P$ nằm trên đường tròn, tiếp tuyến duy nhất.
Khi $d < r$ thì $P$ nằm trong đường tròn, không có tiếp tuyến ✓ — kết quả nhất quán.
Bạn có thể đạt đến kết quả bằng con đường khác không?
Cách 3 — Dùng lực lượng điểm: $PT^2 = OP^2 - r^2$ (lực lượng của $P$ đối với đường tròn). Đây là công thức tổng quát, đẹp và ngắn gọn hơn.
Bạn có thể dùng kết quả hoặc phương pháp này cho bài toán khác không?
Tính chất $PT_1 = PT_2$ (hai tiếp tuyến từ ngoài bằng nhau) là hệ quả quan trọng, được dùng trong rất nhiều bài toán hình học phẳng.
Phân tích sâu: Tại sao phương pháp Pappus hoạt động?
Phân tích (Analysis)
Giả sử lời giải đã tồn tại, quan sát những tính chất tất yếu phải đúng. Mỗi tính chất là một ràng buộc thu hẹp dần không gian tìm kiếm.
Tổng hợp (Synthesis)
Đảo ngược trình tự: bắt đầu từ thứ đã biết, xây dựng từng bước đến kết quả cần chứng minh. Lời giải "xuôi chiều" luôn dễ đọc hơn.
Yếu tố phụ trợ
Đường tròn Thales không có trong đề, nhưng được "phát hiện" nhờ phân tích. Biết thêm gì vào hình là kỹ năng quan trọng nhất trong hình học.
Bài toán phụ
"Dựng giao điểm hai đường tròn" là bài phụ sinh ra từ quá trình phân tích. Giải bài phụ này thì bài chính tự giải xong.
Mở rộng — Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Cho hai đường tròn $(O_1, r_1)$ và $(O_2, r_2)$, $r_1 > r_2$, nằm ngoài nhau. Dựng tất cả các tiếp tuyến chung.
Pólya gọi đây là ví dụ về loại suy: bài "tiếp tuyến từ điểm ngoài" là trường hợp riêng (khi $r_2 = 0$, tức đường tròn $(O_2, r_2)$ co lại thành điểm $P$). Phương pháp giải hoàn toàn tương tự, nhưng có thêm tiếp tuyến chéo ngoài.
| Vị trí tương đối | Tiếp tuyến chung ngoài | Tiếp tuyến chung trong | Tổng |
|---|---|---|---|
| Ngoài nhau ($d > r_1+r_2$) | 2 | 2 | 4 |
| Tiếp xúc ngoài ($d = r_1+r_2$) | 2 | 1 | 3 |
| Cắt nhau ($|r_1-r_2|< d < r_1+r_2$) | 2 | 0 | 2 |
| Tiếp xúc trong ($d = |r_1-r_2|$) | 1 | 0 | 1 |
| Đựng nhau ($d < |r_1-r_2|$) | 0 | 0 | 0 |