Đường chéo của hình hộp chữ nhật

Đâu là ẩn số?

Độ dài đường chéo của hình hộp — gọi là $x$.

Đâu là dữ kiện?

Ba kích thước của hình hộp: chiều dài $a$, chiều rộng $b$, chiều cao $c$.

Đâu là điều kiện?

$x$ là đường chéo của hình hộp có các kích thước $a, b, c$. Ta vẽ hình và đặt ký hiệu rõ ràng cho các cạnh và đường chéo.

“Bạn có biết một bài toán liên quan không?”

Ẩn số là một độ dài. Ta đã từng tìm độ dài bao giờ chưa? — Có! Bài toán quen thuộc nhất về độ dài là tìm cạnh huyền của tam giác vuông bằng định lý Pythagoras.

“Nhìn vào ẩn số!” — Tìm một tam giác vuông chứa $x$

Liệu đường chéo $x$ có thể là cạnh huyền của một tam giác vuông nào đó không? Quan sát hình: đường chéo không gian $x$, cạnh đứng $c$, và đường chéo mặt đáy $y$ tạo thành một tam giác vuông (góc vuông tại chân cạnh đứng). Do đó:

$$ x^2 = y^2 + c^2 $$

Một bài toán phụ xuất hiện

Bây giờ ta lại chưa biết $y$. Nhưng $y$ là đường chéo của mặt đáy hình chữ nhật cạnh $a$ và $b$ — đây chính là một bài toán phụ trợ tương tự, nhưng trong mặt phẳng (đơn giản hơn một bậc). Lại dùng Pythagoras:

$$ y^2 = a^2 + b^2 $$

Trong tam giác vuông ở mặt đáy:

$$ y^2 = a^2 + b^2 $$

Trong tam giác vuông đứng (cạnh $y$, $c$, huyền $x$):

$$ x^2 = y^2 + c^2 = (a^2 + b^2) + c^2 $$

Kết quả

$$ \boxed{\,x = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\,} $$

Kiểm tra kết quả

• Thứ nguyên: Vế phải là căn của tổng các bình phương độ dài → kết quả có thứ nguyên độ dài. ✔
• Đối xứng: Công thức đối xứng với $a, b, c$ — hợp lý, vì vai trò ba kích thước là như nhau (đổi tên cạnh không làm đổi đường chéo). ✔
• Trường hợp đặc biệt: Khi $c = 0$, hình hộp “dẹp” thành hình chữ nhật và $x = \sqrt{a^2+b^2}$ — đúng là đường chéo hình chữ nhật. Khi $a=b=c$ (hình lập phương cạnh $a$): $x = a\sqrt{3}$, kết quả quen thuộc. ✔

Tổng quát hóa & tái sử dụng

Phương pháp “lặp Pythagoras” mở rộng lên không gian $n$ chiều: đường chéo của một “hộp” $n$ chiều với các cạnh $a_1,\dots,a_n$ là

$$ x = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}. $$

Đây cũng chính là công thức khoảng cách Euclid — một kết quả dùng đi dùng lại trong toàn bộ toán học.