Hình vuông nội tiếp tam giác
Một bài toán dựng hình tưởng hóc búa, nhưng tan biến khi ta dám nới lỏng điều kiện — minh họa kinh điển cho heuristic “biến đổi bài toán”.
Cho một tam giác. Hãy dựng (bằng thước và compa) một hình vuông có bốn đỉnh đều nằm trên cạnh tam giác: hai đỉnh nằm trên cạnh đáy, mỗi đỉnh còn lại nằm trên một trong hai cạnh bên.
① Hiểu bài toán
Ẩn số
Hình vuông cần dựng (bốn đỉnh của nó).
Dữ kiện
Tam giác đã cho.
Điều kiện
Hình vuông phải thỏa bốn ràng buộc cùng lúc: hai đỉnh trên đáy, một đỉnh trên cạnh bên trái, một đỉnh trên cạnh bên phải. Chính sự “nhiều ràng buộc cùng lúc” này khiến ta bối rối không biết bắt đầu từ đâu.
② Lập kế hoạch
“Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ phần còn lại.”
Đây là câu hỏi gợi ý vàng. Ta nới lỏng điều kiện: bỏ ràng buộc “đỉnh thứ tư phải nằm trên cạnh bên phải”. Khi đó ta chỉ cần dựng một hình vuông có:
- hai đỉnh nằm trên đáy,
- một đỉnh nằm trên cạnh bên trái.
Với ba ràng buộc này, có vô số hình vuông thỏa mãn — ta có thể dựng nhiều hình vuông to nhỏ khác nhau “đứng” trên đáy với một đỉnh tựa vào cạnh trái.
Quan sát quỹ tích của đỉnh thứ tư
Khi cho hình vuông “phụ” đó lớn dần từ nhỏ tới to, đỉnh thứ tư (đỉnh đáng lẽ phải nằm trên cạnh phải) vạch ra một đường thẳng đi qua đỉnh dưới-trái cố định. Tất cả các hình vuông phụ này đồng dạng và vị tự với nhau qua tâm là đỉnh đó.
Bằng cách bỏ bớt một ràng buộc, ta biến bài toán “một nghiệm khó tìm” thành một họ nghiệm dễ dựng. Họ đó liên hệ với nhau bằng phép vị tự (homothety) tâm tại một đỉnh tam giác. Giao của đường quỹ tích với cạnh bên phải cho ta nghiệm cần tìm.
③ Thực hiện kế hoạch
Chọn một điểm bất kỳ trên đáy, dựng một hình vuông nhỏ “phụ” có đáy nằm trên cạnh đáy tam giác và đỉnh trên-trái tựa vào cạnh bên trái.
Xác định đỉnh trên-phải của hình vuông phụ này.
Kẻ tia từ đỉnh dưới-trái của tam giác đi qua đỉnh trên-phải vừa tìm. Theo phép vị tự, tia này là quỹ tích đỉnh trên-phải của mọi hình vuông phụ.
Giao điểm của tia đó với cạnh bên phải chính là đỉnh trên-phải của hình vuông cần tìm. Từ đó dựng nốt hình vuông hoàn chỉnh — bốn đỉnh đều nằm đúng vị trí.
④ Nhìn lại
Kiểm chứng
Hình vuông dựng được rõ ràng thỏa cả bốn ràng buộc. Phép dựng chỉ dùng thước và compa (kẻ tia, dựng vuông góc) → hợp lệ.
Mở rộng
Kỹ thuật “nới lỏng một ràng buộc rồi dùng vị tự” áp dụng được cho nhiều bài dựng hình khác: nội tiếp hình thoi, tam giác đều, hay đa giác bất kỳ trong một hình cho trước.
“Nếu bạn không thể giải bài toán đã cho, hãy giải một bài dễ tiếp cận hơn có liên quan.” Đôi khi bài dễ hơn ấy đến từ việc cố tình quên đi một điều kiện — rồi để hình học chỉ cho ta cách lấy lại nó.