Đong nước với hai chiếc xô
Bài đố kinh điển mà Pólya dùng để giảng về “làm việc ngược” (working backwards) — phương pháp xuất phát từ điều muốn đạt rồi lần ngược về điều đang có.
Bên một dòng suối có hai chiếc xô không có vạch chia: một xô chứa được 9 lít, một xô chứa được 4 lít. Làm thế nào để lấy được đúng 6 lít nước từ suối? (Chỉ được đổ đầy, đổ hết, hoặc rót nước giữa hai xô và suối.)
① Hiểu bài toán
Ẩn số
Một dãy thao tác (đong, đổ, rót) dẫn tới trạng thái có đúng 6 lít trong một chiếc xô.
Dữ kiện
Hai xô dung tích 9 và 4; nguồn nước vô hạn (dòng suối).
Điều kiện
Các phép hợp lệ: đổ đầy một xô từ suối; đổ một xô ra suối; rót từ xô này sang xô kia cho tới khi xô kia đầy hoặc xô này cạn.
② Lập kế hoạch — Làm việc ngược
Thay vì mò mẫm đong xuôi, Pólya gợi ý: hãy bắt đầu từ đích.
“Ta muốn có 6 lít. Trạng thái ngay trước đó có thể là gì?”
6 lít có thể nằm trong xô 9 lít. Làm sao có 6 trong xô 9? Nếu xô 9 đang đầy (9 lít) mà ta rót bớt 3 lít đi, sẽ còn 6. Vậy ta cần lấy đi đúng 3 lít từ xô 9.
“Làm sao lấy đi đúng 3 lít?”
Nếu xô 4 lít đang chứa sẵn 1 lít, thì rót từ xô 9 (đầy) sang xô 4 sẽ chỉ thêm được 3 lít nữa là xô 4 đầy → xô 9 mất đúng 3 lít, còn lại 6. 🎯 Vậy bài toán quy về: làm sao có đúng 1 lít trong xô 4?
“Làm sao có 1 lít trong xô 4?”
Lần ngược tiếp: nếu xô 9 chứa 9, rót sang xô 4 hai lần (mỗi lần đầy 4, đổ đi) thì xô 9 còn $9 - 4 - 4 = 1$ lít. Rót 1 lít này sang xô 4 → xô 4 có 1 lít. Đến đây mạch ngược đã chạm tới trạng thái khởi đầu khả thi.
Pappus gọi đây là analysis: coi cái muốn tìm như đã có, rồi truy hỏi “điều này suy ra từ đâu?”, cứ thế lùi dần tới một dữ kiện đã biết. Khi viết lời giải, ta đảo chiều lại (tổng hợp / synthesis) để trình bày xuôi.
③ Thực hiện kế hoạch (đong xuôi)
Đảo ngược chuỗi suy luận trên thành các bước thực hiện. Ký hiệu trạng thái là (xô 9, xô 4):
| Bước | Thao tác | Xô 9 lít | Xô 4 lít |
|---|---|---|---|
| 0 | Bắt đầu (rỗng) | 0 | 0 |
| 1 | Đổ đầy xô 9 từ suối | 9 | 0 |
| 2 | Rót xô 9 → xô 4 (đầy 4) | 5 | 4 |
| 3 | Đổ xô 4 ra suối | 5 | 0 |
| 4 | Rót xô 9 → xô 4 (đầy 4) | 1 | 4 |
| 5 | Đổ xô 4 ra suối | 1 | 0 |
| 6 | Rót xô 9 → xô 4 (còn 1 lít sang) | 0 | 1 |
| 7 | Đổ đầy xô 9 từ suối | 9 | 1 |
| 8 | Rót xô 9 → xô 4 (chỉ thêm 3 là đầy) | 6 ✔ | 4 |
$$ \boxed{\text{Xô 9 lít chứa đúng } 6 \text{ lít.}} $$
④ Nhìn lại
Kiểm tra
Từng thao tác đều hợp lệ; mỗi dòng kế tiếp suy ra logic từ dòng trước; trạng thái cuối đúng 6 lít.
Tổng quát hóa
Vì $\gcd(9,4)=1$ chia hết 6 (thực ra chia hết mọi số nguyên), ta luôn đong được mọi thể tích từ 0 đến 9. Tổng quát: với hai xô dung tích $m, n$, các thể tích đong được đúng là các bội của $\gcd(m,n)$ — kết quả gắn với đẳng thức Bézout.
Có một lời giải đối xứng: ưu tiên đổ đầy xô 4 rồi rót sang xô 9. Cả hai con đường đều tới đích — minh họa câu hỏi “Bạn có thể tìm ra kết quả theo cách khác không?” của Giai đoạn 4.