Bài toán nhiệt độ nước — Lập phương trình
Pólya nhấn mạnh: phần khó của nhiều “bài toán đố” không nằm ở tính toán, mà ở việc “dịch” ngôn ngữ đời thường sang ngôn ngữ đại số. Đây là một ví dụ tiêu biểu.
Trộn $a$ lít nước ở nhiệt độ $60^\circ$ với $b$ lít nước ở nhiệt độ $20^\circ$. Bỏ qua hao phí nhiệt. Hỏi nhiệt độ $x$ của hỗn hợp sau khi trộn là bao nhiêu? (Tổng quát: trộn $a$ lít ở $t_1$ độ với $b$ lít ở $t_2$ độ.)
① Hiểu bài toán
Ẩn số
Nhiệt độ chung $x$ của hỗn hợp.
Dữ kiện
Hai lượng nước $a, b$ (lít) và hai nhiệt độ ban đầu $t_1 = 60^\circ$, $t_2 = 20^\circ$.
Điều kiện (nguyên lý vật lý ẩn)
“Bảo toàn nhiệt”: nhiệt lượng mà nước nóng tỏa ra đúng bằng nhiệt lượng mà nước lạnh thu vào. Đây là khái niệm cốt yếu mà người giải phải nhận ra — đúng như câu hỏi của Pólya: “Bạn đã tính đến mọi khái niệm cốt yếu liên quan đến bài toán chưa?”
② Lập kế hoạch
Đặt ký hiệu & diễn đạt điều kiện bằng công thức
Nhiệt lượng tỉ lệ với khối lượng × độ biến thiên nhiệt độ. Nước nóng hạ từ $60$ xuống $x$, tỏa ra nhiệt $\propto a\,(60 - x)$. Nước lạnh tăng từ $20$ lên $x$, thu vào $\propto b\,(x - 20)$.
“Hãy phát biểu lại điều kiện thành một phương trình.”
Cân bằng nhiệt cho ta phương trình của bài toán:
$$ a\,(60 - x) = b\,(x - 20). $$
Pólya khuyên chia điều kiện thành nhiều phần và dịch từng phần một. Mỗi mệnh đề lời văn (“nóng tỏa ra”, “lạnh thu vào”, “bằng nhau”) trở thành một thành tố của phương trình. Lập được phương trình đúng nghĩa là đã hiểu trọn bài toán.
③ Thực hiện kế hoạch
Khai triển: $\; 60a - ax = bx - 20b.$
Gom $x$: $\; 60a + 20b = bx + ax = (a+b)x.$
Kết quả
$$ \boxed{\,x = \dfrac{60a + 20b}{a + b}\,} \qquad\text{(tổng quát: } x = \dfrac{a\,t_1 + b\,t_2}{a+b}\text{)} $$
Đây chính là trung bình có trọng số của hai nhiệt độ theo lượng nước.
④ Nhìn lại
Kiểm tra trường hợp đặc biệt
- $a = b$: $x = \dfrac{60+20}{2} = 40^\circ$ — đúng là trung bình cộng. ✔
- $b = 0$ (không thêm nước lạnh): $x = 60^\circ$. ✔
- $a = 0$: $x = 20^\circ$. ✔
- Kết quả luôn nằm giữa $20^\circ$ và $60^\circ$ — hợp với trực giác vật lý. ✔
Tái sử dụng
Công thức trung bình có trọng số này tái xuất hiện khắp nơi: pha trộn dung dịch theo nồng độ, tính điểm trung bình theo số tín chỉ, trọng tâm của hệ chất điểm… Nhận ra “khuôn” chung là phần thưởng của giai đoạn nhìn lại.
“Để lập được phương trình, bạn phải hiểu điều kiện đủ rõ để diễn đạt nó bằng ngôn ngữ toán học.” Lập phương trình không phải là bước máy móc — đó là đỉnh điểm của sự thấu hiểu.