Tổng các lập phương & phép quy nạp

Ẩn số

Một công thức theo $n$ cho tổng $S_n$.

Dữ kiện

Quy luật của tổng: cộng các lập phương liên tiếp từ $1$ đến $n$.

“Hãy đặc biệt hóa: tính vài trường hợp đầu.”

“Quan sát quy luật.”

Mỗi giá trị $1, 9, 36, 100, 225$ đều là số chính phương: $1^2, 3^2, 6^2, 10^2, 15^2$. Các cơ số $1, 3, 6, 10, 15$ chính là các số tam giác $T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Phỏng đoán (do quy nạp gợi ý)

$$ S_n = \big(1+2+\dots+n\big)^2 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2. $$

Một kết quả đẹp bất ngờ: tổng các lập phương bằng bình phương của tổng.

Cơ sở

Với $n=1$: $S_1 = 1 = \left[\frac{1\cdot 2}{2}\right]^2 = 1$. ✔

Giả thiết quy nạp

Giả sử công thức đúng với $n=k$: $\; S_k = \left[\dfrac{k(k+1)}{2}\right]^2.$

Bước chuyển $k \to k+1$

$$ S_{k+1} = S_k + (k+1)^3 = \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 + (k+1)^3. $$

Đặt nhân tử chung $(k+1)^2$:

$$ = (k+1)^2\!\left[\frac{k^2}{4} + (k+1)\right] = (k+1)^2 \cdot \frac{k^2 + 4k + 4}{4} = (k+1)^2 \cdot \frac{(k+2)^2}{4}. $$

$$ = \left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^2. $$

Đây đúng là công thức với $n = k+1$. ✔

Kết luận

Theo nguyên lý quy nạp toán học, với mọi số nguyên dương $n$:

$$ \boxed{\,1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2\,} $$

Kiểm chứng lại

Thử $n=4$: $\left[\frac{4\cdot5}{2}\right]^2 = 10^2 = 100$ — khớp với bảng. ✔

Suy ngẫm về phương pháp

Quy trình “đặc biệt hóa → quan sát → phỏng đoán → chứng minh quy nạp” là mẫu hình tổng quát để khám phá nhiều công thức tổng (tổng số tự nhiên, tổng bình phương…). Pólya gọi đây là sự cộng hưởng giữa toán học suy diễn và toán học thực nghiệm.